小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答

  小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答_学科竞赛_小学教育_教育专区。小学数学奥林匹克竞赛历届真题集锦,并附答案及主要解体过程。

  小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答 一、填空题 1.三个连续偶数,中间这个数是 m,则相邻两个数分别是___m-2____和___m+2_ __。 2.有一种三位数,它能同时被 2、3、7 整除,这样的三位数中,最大的一个是____966___, 最小的一个是____126____。 解题过程:2×3×7=42;求三位数中 42 的倍数 126、168、……966 3.小丽发现:小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数,积是 144,小表妹和读初三哥哥的岁数 分别是_____9____岁和____16____岁。 解题过程:144=2×2×2×2×3×3;(9、16)=1 4.一个四位数,它的第一个数字等于这个数中数字 0 的个数,第二个数字表示这个数中数字 1 的个数,第三个数字表示这个数中数字 2 的个数,第四个数字等于这个数中数字 3 的个数, 那么这个四位数是____1210___。 5.2310 的所有约数的和是__6912____。 解题过程:2310=2×3×5×7×11;约数和=(1+2)×(1+3)×(1+5)×(1+7)×(1+11) 6.已知 2008 被一些自然数去除,得到的余数都是 10,这些自然数共有____11____个。 解题过程:2008-10=1998;1998=2×33×37;约数个数=(1+1)×(1+3)×(1+1)=16(个) 其中小于 10 的约数共有 1,2,3,6,9;16-5=11(个) 7.从 1、2、3、…、1998、1999 这些自然数中,最多可以取多少个数,才能使其中每两个数 的差不等于 4?__ 1000 __。 解题过程:1,5,9,13,……1997(500 个) 隔 1 个取 1 个,共取 250 个 2,6,10,14,……1998(500 个)隔 1 个取 1 个,共取 250 个 3,7,11,15,……1999(500 个)隔 1 个取 1 个,共取 250 个 4,8,12,16,……1996(499 个)隔 1 个取 1 个,共取 250 个 8.黑板上写有从 1 开始的若干个连续的奇数:1,3,5,7,9,11,13…擦去其中的一个奇 数以后,剩下的所有奇数之和为 1998,那么擦去的奇数是____27____。 1 解题过程:1+3+5+……+(2n-1)=n2;45×45=2025;2025-1998=27 9.一个 1994 位的整数,各个数位上的数字都是 3。它除以 13,商的第 200 位(从左往右数) 数字是_____5____,商的个位数字是_____6____,余数是____5_____。 解题过程:33333333……3÷13=256410 256410…… 10.在小于 5000 的自然数中,能被 11 整除,并且数字和为 13 的数,共有____18____个。 解题过程:能被 11 整除的条件是:奇数位数字和与偶数位数字和相差为 11 的倍数; 1 位数不满足条件;2 位数也不满足条件(各位数字应相等,数字和不等于 13); 个; 应为 3 或 4 位数;13=12+1;偶数位数字和=1,奇数位数字和=12 时,共有 14 偶数位数字和=12,奇数位数字和=1 时,共有 4 个;14+4=18(个) 11.设 n 是一个四位数,它的 9 倍恰好是其反序数(例如:123 的反序数是 321),则 n= ___1089___。 解题过程:千位只能是 1;个位只能是 9;百位只能是 0 或 1;如百位是 1,则十位必须为 0, 但所得数 1109 不满足题意;如百位是 0,则十位必须为 8,得数 1089 满足题意 12.555555 的约数中,最大的三位数是___555____。 解题过程:555555=3×5×11×37×91;3×5×37=555 13.设 a 与 b 是两个不相等的自然数,如果它们的最小公倍数是 72,那么 a 与 b 之和可以有 ____17____种不同的值。 解题过程:72=2×2×2×3×3;a=72,b=(1+3)×(1+2)-1=12-1=11;a=36,b=8 或 24; a=24,b=9 或 18;a=18,b=8;a=9,b=8;11+6=17 14.小明的两个衣服口袋中各有 13 张卡片,每张卡片上分别写着 1,2,3,……,13。如果 从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积,可以得到许多不相等的乘积, 那么,其中能被 6 整除的乘积共有____21____个。 解题过程:6×1,2,3,……13 共 13 个; 12×7,8,9,……13=6×14,16,18,……26 共 7 个; 9×10=6×15 共 1 个; 13+7+1=21(个) 2 15.一列数 1,2,4,7,11,16,22,29,…这列数的组成规律是第 2 个数比第 1 个数多 1; 第 3 个数比第 2 个数多 2;第 4 个数比第 3 个数多 3;依此类推。那么这列数左起第 1992 个 数除以 5 的余数是____2_____。 解题过程:a2-a1=1;a3-a2=2;……an-1-an-2=n-2;an-an-1=n-1; an-a1=1+2+3+……+n-1=n(n-1)/2;an= n(n-1)/2+1; a1992=1992×(1992-1)/2+1=996×1991+1=(995+1)×(1990+1)+1 16.两个自然数的和是 50,它们的最大公约数是 5,则这两个数的差是_ 20 或 40 _。 解题过程:(a、b)=5;5a,5b;a=5,b=45 或 a=15,b=35 17.将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,得到的和恰 好是某个自然数的平方,这个和是____121___。 解题过程:和可能为两位数,也可能为三位数,但肯定是 11 的倍数,即 11 的平方。 18.100 以内所有被 5 除余 1 的自然数的和是____970___。 解题过程:1+6+11+16+……91+96=(1+96)×20÷2=970 19.9 个连续的自然数,它们都大于 80,那么其中质数至多_____4____个。 解题过程:9 个连续的自然数,末尾可能是 0-9,末尾是 0、2、4、6、8 的一定被 2 整除, 末尾是 5 的一定被 5 整除,每连续 3 个自然数中一定有一个是 3 的倍数,只有末 尾是 1、3、7、9 的数可能是质数.于是质数只可能在这 5 个连续的奇数中,所以 质数个数不能超过 4 20.如果一个自然数的约数的个数是奇数,我们称这个自然数为“希望数”,那么,1000 以 内最大的“希望数”是___961____。 解题过程:自然数的因数都是成对出现的,比如 1 和本身是一对,出现奇数个因数的时候是 因为其中有一对因数是相等的,即这个自然数是完全平方数。1000 以内最大的完 全平方数是 312=961,所以这个希望数是 961 21.两个数的最大公约数是 21,最小公倍数是 126。这两个数的和是__105 或 147__。 解题过程:126=21×2×3;这两个数是 42 和 63,或 21 和 126 22.甲数是 36,甲乙两数的最小公倍数是 288,最大公约数是 4,乙数应该是____32____。 解题过程: 4 36 4×8=32 3 36÷4=9 288÷4÷9=8 23.一个三位数能同时被 2、5、7 整除,这样的三位数按由小到大的顺序排成一列,中间的 一个是___560____。 解题过程:2×5×7=70;70×2,3,4,……13,14=140,210,280,……910,980 24.有四个互不相等的自然数,最大数与最小数的差等于 4,最小数与最大数的积是一个奇 数,而这四个数的和是最小的两位奇数,那么这四个数的乘积是____30____。 解题过程:最小数、最大数均为奇数,中间有一个偶数,4 个数和为 11,分别为 1、2、3、5 25.两个整数相除得商数是 12 和余数是 26,被除数、除数、商数及余数的和等于 454,除数 是____30____。 解题过程:设除数是 X,则 12X+26+X+12+26=454;X=30 26.在 1×2×3×…×100 的积的尾部有____21___个连续的零。 解题过程:尾数为 5 的共 10 个,尾数 1 个 0 的 9 个,2 个 0 的 1 个,共 21 个 0 27.有 0、1、4、7、9 五个数字,从中选出四个数组成一个四位数(例如 1409),把其中能 被 3 整除的这样的四位数,从小到大排列起来,第 5 个数的末位数字是____9_____。 解题过程:1047、1074、1407、1470、1704、1740、4017、4071、4107、4170…… 1479、1497、1749、1794…… 28.一些四位数,百位数字都是 3,十位数字都是 6,并且他们既能被 2 整除又能被 3 整除。 甲是这样四位数中最大的,乙是最小的,则甲乙两数的千位数字和个位数字(共四个数字) 的总和是____18____。 解题过程:求?36?中能被 3 整除的偶数;甲为 9366,乙为 1362;9+6+1+2=18 29.把自然数按由小到大的顺序排列起来组成一串数:1、2、3、…、9、10、11、12、…, 把这串数中两位以上的数全部隔开成一位数字,组成第二串数:1、2、…、9、1、0、1、1、 1、2、1、3、…。则第一串数中 100 的个位数字 0 在第二串数中是第____192___个数。 解题过程:1-9(共 9 个),10-99(共 180 个),100(共 3 个) 30.某个质数与 6、8、12、14 之和都仍然是质数,一共有_____1____个满足上述条件的质数。 解题过程:除 2 和 5 以外,其它质数的个位都是 1,3,7,9; 6,8,12,14 都是偶数,加上唯一的偶数质数 2 和仍然是偶数,所以不是 2; 4 14 加上任何尾数是 1 的质数,最后的尾数都是 5,一定能被 5 整除;12 加上任何 尾数是 3 的质数,尾数也是 5;8 加上任何尾数是 7 的质数,尾数也是 5;6 加上 任何尾数是 9 的质数,尾数也是 5; 所以,这个质数的末位一定不是 1,3,7,9; 只有 5 符合 31.已知 a 与 b 的最大公约数是 12,a 与 c 的最小公倍数是 300,b 与 c 的最小公倍数也是 300。那么满足上述条件的自然数 a、b、c 共有____30____组。(例如 a=12,b=300,c=300, 与 a=300,b=12,c=300 是不同的两个自然数组) 解题过程:∵(a,b)=12,∴a=12m,b=12n(m,n=1 或 5 或 25,且(m,n)=1); ∵[a,c]=300,[b,c]=300,∴c=25k(k=1,2,3,4,6,12); 当 m=1,n=1 时,a=12,b=12,c=25k 当 m=1,n=5 时,a=12,b=60,c=25k 当 m=1,n=25 时,a=12,b=300,c=25k 当 m=5,n=1 时,a=60,b=12,c=25k 当 m=25,n=1 时,a=300,b=12,c=25k 故有 30 组 32.从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行。从左向右 1 至 11 报数,报数为 11 的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右 1 至 11 报数,报数为 11 的 同学留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右 1 至 11 报数,报到 11 的同学留下, 其余同学出列。那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是___1331___。 解题过程:11×11×11=1331 33.在 1,9,8,9 后面写一串这样的数字:先计算原来这 4 个数的后两个之和 8+9=17, 取个位数字 7 写在 1,9,8,9 的后面成为 1,9,8,9,7;再计算这 5 个数的后两个之和 9 +7=16;取个位数字 6 写在 1,9,8,9,7 的后面成为 1,9,8,9,7,6;再计算这 6 个 数的后两个之和 7+6=13,取个位数字 3 写在 1,9,8,9,7,6 的后面成为 1,9,8,9,7, 6,3。继续这样求和,这样填写,成为数串 1,9,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4…那么这 个数串的前 398 个数字的和是___1990___。 解题过程:1,9,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,…… 5 398-2=396;396÷12=33;8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60;60×33+10=1990 二、判断题 1.两个连续整数中必有一个奇数一个偶数。 ( √ ) 2.偶数的个位一定是 0、2、4、6 或 8。 ( √ ) 3.奇数的个位一定是 1、3、5、7 或 9。 ( √ ) 4.所有的正偶数均为合数。 ( × ) 5.奇数与奇数的和或差是偶数。 ( √ ) 6.偶数与奇数的和或差是奇数。 ( √ ) 7.奇数与奇数的积是奇数。 ( √ ) 8.奇数与偶数的积是偶数。 ( √ ) 9.任何偶数的平方都能被 4 整除。 ( √ ) 10.任何奇数的平方被 8 除都余 1。 ( √ ) 11.相邻偶数最大公约数为 2,最小公倍数为它们乘积的一半。( √ ) 12.任何一个自然数,不是质数就是合数。 ( × ) 13.互质的两个数可以都不是质数。 ( √ ) 14.如果两个数的积是它们的最小公倍数,这两个数一定是互质数。( √ ) 三、计算题 1.能不能将(1)505;(2)1010 写成 10 个连续自然数之和?如果能,把它写出来;如果不 能,说明理由。 解题过程:S=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)+(n+6)+(n+7)+(n+8) +(n+9) =10n+45(一定是奇数) (1)505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54 (2)1010 是偶数,不能写成 10 个连续自然数之和 6 2.(1)从 1 到 3998 这 3998 个自然数中,有多少个能被 4 整除? (2)从 1 到 3998 这 3998 个自然数中,有多少个数的各位数字之和能被 4 整除? 解题过程:(1)3998÷4=999(个)……2 (2)考虑个位,选法有 10 种;十位,选法有 10 种;百位选法有 10 种;选定之后个 位、十位、百位数字之和除以 4 的余数有 3 种情况,余 0、余 1、余 2、余 3, 对应这四种在千位上刚好有一种与之对应,共有 1000 个;1000-1=999(个) 3.请将 1,2,3,…,99,100 这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行,使 每两个相邻的数都不互质(若一行写不下,可移至第二行接着写,若第二行仍写不下,可移 至第三行接着写)。 解题过程:9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99 15,25,35,55,65,85,95 21,35,49,77,91 33,55,77,99 25,35,55,65,85,95;15,9,21,27,33,39,45,51,57,63,69, 75,81,87,93,99;77,91,49 4.一个自然数除以 8 得到的商加上这个数除以 9 的余数,其和是 13。求所有满足条件的自 然数。 解题过程:设这个数为 n,除以 9 的余数 r≤8,所以除以 8 得到的商 q≥13-8=5,且 q≤13 n=8q+k=9p+r==k=9p+r-8p=9p+r-8×(13-r)=9×(p+r)-104=4 q=5,n=8×5+4=44 q=6,n=8×6+4=52 q=7,n=8×7+4=60 q=8,n=8×8+4=68 q=9,n=8×9+4=76 q=10,n=8×10+4=84 q=11,n=8×11+4=92 7 q=12,n=8×12+4=100 q=13,n=8×13+4=108 5.有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片,每种颜色的卡片各有 3 张。相同颜色的卡片上写相同 的自然数,不同颜色的卡片上写不同的自然数。老师把这 12 张卡片发给 6 名同学,每人得到 两张颜色不同的卡片。然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。六名同学 交上来的答案分别为:92、125、133、147、158、191。老师看完 6 名同学的答案后说,只有 一名同学的答案错了。问:四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少? 解题过程:设四张卡片上的数从小到大分别为 A、B、C、D,则六位同学所计算的分别为 A+B、 A+C、A+D、B+C、B+D、C+D 这 6 个和数,且最小的两个依次为 A+B、A+C, 最大的两个依次为 C+D、B+D。 (A+B)+(C+D)=(A+C)+(B+D)=(A+D)+(B+C); 而 92+191=283=125+158,133+147=280≠283; 所以,A+B=92,A+C=125,B+D=158,C+D=191;133、147 中有一个不正确。 若 147 是正确的,则 B+C=147,A+D=283-147=136。 C-B=(A+C)(- A+B)=125-92=33 == C=90,B=57,A=92-57=35,D=191-90=101 若 133 是正确的,则 A+D=133,B+C=283-133=150。 C-B=(A+C)(- A+B)=125-92=33 == B=50,C=83,A=92-50=42,D=191-83=108 所以,四种颜色卡片上所写各数中最小数是 35 或 42。 6.有三个数字能组成 6 个不同的三位数,这 6 个三位数的和是 2886,求所有这样的 6 个三 位数中最小的三位数。(说明理由) 解题过程:设这三个数字从小到大分别为 A、B、C,显然,它们互不相等且都不等于 0。 则 222×(A+B+C)=2886 == A+B+C=2886÷222=13 百位数为 1 是最小的,另两个数分别为 3 和 9;所以最小的三位数为 139 7.求小于 1001 且与 1001 互质的所有自然数的和。 解题过程:1001=7×11×13 1+2+…+1000=(1+1000)×1000÷2=500500 8 7+14+21+…+994=(7+994)×142÷2=71071 11+22+…+990=(11+990)×90÷2=45045 13+26+…+988=(13+988)×76÷2=38038 77+154+231+…+924=(77+924)×12÷2=6006 91+182+273+…+910=(91+910)×10÷2=5005 143+286+429+…+858=(143+858)×6÷2=3003 500500-71071-45045-38038+6006+5005+3003=360360 8.三张卡片,在它们上面各写一个数字(如图)。从中抽出一张、二张、三张,按任意次序 排列起来,可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的质数都写出来。 解题过程:2、3、13、23、31 9.一串数排成一行,它们的规律是这样的:头两个数都是 1,从第三个数开始,每一个数都 是前两个数的和,也就是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……。问:这串数的前 100 个数是(包括第 100 个数)有多少个偶数? 解题过程:100÷3=33(个)……1 10.从小到大写出 5 个质数,使后面的数都比前面的数大 12。 解题过程:5,17,29,41,53 11.有 15 位同学,每位同学都有编号,它们是 1 号到 15 号。1 号同学写了一个自然数,2 号 说:“这个数能被 2 整除”,3 号说“这个数能被 3 整除”,……,依次下去,每位同学都说, 这个数能被他的编号数整除,1 号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余 同学都对,问:(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉 你,1 号写的数是五位数,请求出这个数。(写出解题过程) 解题过程:(1)如果 15 号说的不对,那么这个数不能被 15 整除,则它不能被 3 或者 5 之一整 除,即 3 号或者 5 号说的不对,这与相邻编号两位同学说的不对矛盾!故而这个 数能被 15 整除,同时也能被 3 和 5 整除。同理,如果 14 号不对,那么它不能被 2 或者 7 整除,矛盾。即这个数能被 14 整除,也能被 2 和 7 整除;同理,如果 12 号不对,那么它不能被 4 整除,矛盾。即这个数能被 4 和 12 整除。那么这个数能 9 被 2*5=10 整除。将 2 到 15 中能被整除这个数的数划去,发现编号相邻的只有 8 和 9,即 8 号和 9 号说的不对。 (2)1 号写的数为 N。N 能被 2^2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 = 60060 整除,不能被 2^3 或 者 3^2 整除;而又已知 N 是五位数,故 N=60060。 12.一个自然数被 8 除余 1,所得的商被 8 除也余 1,再把第二次所得的商被 8 除后余 7,最 后得到一个商是 a(见短除式(1))。又知这个自然数被 17 除余 4,所得的商被 17 除余 15, 紧后得到一个商是 a 的 2 倍(见短除式(2)),求这个自然数。 解题过程:N=8×(8×(8a+7)+1)+1=17×(17×2a+15)+4== a=3== N=1993 10

时间

2019-09-03 18:51


栏目

竞赛真题


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admin


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